Un ami, philosophe et mathématicien, m’a parlé d’un jeu que lui a inspiré le film Las Vegas 21. On pourra facilement se le représenter car il s’apparente à un jeu télévisé présenté par un animateur du nom d’un roi endormi.

Mettons nous en situation:

I)        On place 10 000€ (une myriade) dans une boîte parmi trois (A, B, C).

II)      Le candidat choisit une des trois boîtes [par exemple A].

III)    On élimine une des deux autres et on regarde dedans [par exemple B].

IV)    Si la boîte éliminée contient la somme espérée, le candidat a perdu ; sinon il peut conserver  sa boîte ou changer son choix [par exemple garder A ou choisir C]

==> Que feriez-vous à la place du candidat, sachant qu’il obtiendra le contenu de la boîte correspondant à son dernier choix (IV), c’est-à-dire une myriade ou rien ?

Instinctivement, la plupart d’entre nous sans doute répondraient que la dernière étape est équivalente à un pile ou face et donc qu’il importe peu que le candidat change ou non. Peut-être un mathématicien répondrait-il différemment, à savoir que le candidat a plus de chances de gagner s’il modifie son choix à l’étape IV).

On va essayer de comprendre ce point de vue intéressant parce que différent peut-être de celui du commun des mortels…

Le dénombrement et le calcul de probabilités sont une partie passionnante des mathématiques parce qu’elles ont le mérite d’utiliser des nombres souvent vertigineux et de les insérer dans notre quotidien, lui donnant ainsi sa profondeur scientifique. De plus ils ont l’avantage d’être indépendants des autres domaines des mathématiques et donc d’être accessibles à tout néophyte doté de bon sens.

Pour résoudre un tel problème, on aura recours à un arbre des possibles : on représente tous les cas envisageables puis on les compte et on conclut. Dans notre cas, le calcul est simplifié, car à chaque nœud de l’arbre, les choix sont « équiprobables », (c’est-à-dire de même probabilité, comme un dé qui ne fait pas plus de 6 que de 4 ou de 3 quand on le lance), je ne développe donc pas plus ici les autres aspects du calcul probabiliste.

Pour simplifier l’étude, sans modifier la proportion des chances, on ne considèrera plus que le cas où la coquette somme se trouve dans la boîte A, les deux autres cas se déduisant par simple permutation des lettres.

[Pour raison de clarté, les deux dernières colonnes ne sont remplies que si le candidat a gagné]

Je laisse à chacun le soin de vérifier la cohérence de ce schéma, ensuite, tout individu pourvu d’une main non trop mutilée pourra vérifier sur ses doigts que le candidat a 4 chances (sur 12) de gagner dont 2 s’il modifie son choix à l’étape IV). C'est-à-dire qu'il a autant de chances de gagner en changeant ou sans changer de boîte.

En revanche, si à l'étape III) la personne qui élimine la boîte fait en sorte de ne pas tomber sur la bonne boîte (on suppose alors qu'elle connaît leurs contenus), il faut éliminer les branches en pointillé ( [2,1] et [3,1]) de l'arbre ci-dessus, et les probabilités des branches supprimées se rapportent aux branches restantes respectives ([2,2] et [3,2]). Dans ce cas, les probabilités sur ces branches sont doublées, et on peut considérer que les résultats au bout des branches comptent doubles. Ainsi, il y a 6 chances (sur 12) de gagner dont 4 s'il modifie son choix à l'étape IV). C'est-à-dire qu'il a 2 fois plus de chances de gagner s'il change de choix.

En conclusion, la probabilité de gagner n'est pas la même si la personne qui élimine la boîte à l'étape III) connaît ou non le contenu des boîtes, mais en modifiant son premier choix, on est sûr de faire le meilleur choix.

Je remercie donc mon ami de m’avoir proposé cette réflexion car elle souligne combien notre instinct est imparfait pour évaluer des probabilités ou plus généralement pour apprécier le hasard. On considère qu’un hasard physique (lancer de dé…) est aléatoire ; en revanche aucun algorithme, même sur l’ordinateur le plus puissant, n’est en mesure de fournir un résultat absolument aléatoire, or ce serait intéressant car en cryptographie, l’accès à un nombre absolument aléatoire permettrait l'obtention d'un message indéchiffrable. A noter que les ordinateurs quantiques en sont peut-être capables, mais on revient dans ce cas à un hasard physique.

Rodrigo